Cálculo del Precio Sombra con el Método Simplex

Una de las ventajas de la utilización del Método Simplex es que además de permitir encontrar la solución óptima y valor óptimo de un modelo de Programación Lineal (cuando existe) es que proporciona información valiosa para el Análisis de Sensibilidad o Postoptimal. En este artículo en particular nos enfocaremos en cómo utilizar los resultados de la tabla final del Método Simplex para el análisis del Precio Sombra de una restricción. Para ello consideremos el siguiente problema el cual se puede representar a través de un modelo con dos variables de decisión.

Ejemplo del Cálculo del Precio Sombra con el Método Simplex

Una empresa administradora de fondos dispone de 21 millones de pesos para invertir en bolsa. El departamento de estudios de inversiones recomienda dos tipos de instrumentos financieros, que llamaremos tipo A y tipo B. Los del tipo A tienen una rentabilidad del 10% anual y los del tipo B del 8% anual. Por razones de políticas de gestión del directorio se decide invertir un máximo de 13 millones de pesos en las del tipo A y como mínimo 6 millones de pesos en las del tipo B. Además la inversión en los instrumentos del tipo A debe ser menor o igual que el doble de la inversión destinada a los instrumentos tipo B.

Sea x e y los millones invertidos en los instrumentos A y B, respectivamente, el modelo de Programación Lineal que permite maximizar la rentabilidad de la administradora sujeta a las condiciones impuestas es el siguiente:

ejemplo modelo precio sombra

En particular el problema anterior puede ser resuelto a través del Método Simplex de Dos Fases. Para ello se agregan variables de holgura para la primera, segunda y cuarta restricción. En el caso de la tercera restricción se agrega una variable de exceso y una variable auxiliar. Otra alternativa sería imponer un cambio de variables, definiendo por ejemplo z=y-6\geq 0 de modo que z+6=y\geq 0 que evita la aplicación del Método Simplex de Dos Fases y requiere reemplazar en el modelo anterior la variable y por z+6.

Adicionalmente existen una serie de herramientas computacionales que permite resolver online un problema de Programación Lineal a través del Método Simplex. Una de ellas se encuentra en: Método Simplex Online Programación Lineal, donde a continuación se muestra una imagen con la implementación del ejemplo propuesto y los resultados alcanzados:

solución método simplex online

La solución óptima es x=13y=8 con valor óptimo de V(P)=1.94 (millones). Notar que la variable s_{1} corresponde a la variable de holgura de la primera restricción que corresponde al limite presupuestario. Adicionalmente su costo reducido es 0.08 que corresponde al Precio Sombra de la respectiva restricción.

Para determinar el intervalo en el cual puede variar el lado derecho de la restricción 1 (actualmente b_{1}=21) de modo de conservar la actual base óptima, podemos hacer uso del siguiente resultado:

formula intervalo variacion coeficiente funcion objetivo

Donde y_{ij} corresponde a los valores en las respectivas filas asociada a la variable de holgura de la primera restricción, en este caso s_{1}. De esta forma se obtiene:

Max\begin{Bmatrix}\frac{-3}{2};\frac{-2}{1};\frac{-8}{1}\end{Bmatrix}\leq D\leq\infty

\frac{-3}{2}\leq D\leq\infty

El aumento permisible para b_{1} es infinito (notar que no existen y_{ij}<0 en la columna de s_{1}). Análogamente la disminución permisible es -3/2. De esta forma se concluye que si b_{1}\epsilon [19.5,\infty [ se conserva la base óptima (restricciones activas en la solución óptima original).

Una forma de facilitar la comprensión del concepto anterior, en especial aquel que se refiere al aumento permisible, se puede lograr a través de una representación gráfica del problema. Se puede evidenciar que en la medida que el lado derecho de la restricción 1 aumente (incluso de forma indefinida( la solución óptima se seguirá encontrando con la restricción 1 y restricción 2 activa (al igual como sucede en el vértice E que es la coordenada de la solución óptima original).

precio sombra grafico

Dado el análisis anterior estamos en condiciones de responder una pregunta como la siguiente que requiere la aplicación del concepto del Precio Sombra:

Si la administradora de fondos pudiese disponer de 500 mil pesos adicionales para invertir, ¿cómo variaría su ingreso?. Justifique su respuesta mediante los argumentos propios del análisis de sensibilidad.

El Análisis de Sensibilidad que aplica es el que se hace para el lado derecho de la primera restricción, cuyo precio sombra es de 0.08 con un aumento permisible para su respectivo para su lado derecho de infinito. Por tanto un incremento en 500 mil pesos (0.5 millones) en el presupuesto determina que el nuevo valor óptimo sería V(P)=1.94+0.5*0.08=1.98 (millones).

Rating: 5.0. From 5 votes.
Please wait...

, , , , , ,

Sin comentarios aun. Tus aportes son bienvenidos!

Agregar un comentario