Ejemplo del Método Simplex

El Método Simplex es sin lugar a dudas el algoritmo por excelencia cuando se trata de resolver un modelo de Programación Lineal. Dado lo anterior suele tener un lugar privilegiado en los programas de estudios de cursos de pregrado relacionados a la Investigación de Operaciones. En el siguiente artículo presentamos una problemática la cual se aborda mediante el modelamiento de un problema lineal y su posterior resolución a través del Método Simplex. Adicionalmente y como forma de complementar el análisis se ofrece una interpretación gráfica de los resultados que da origen el algoritmo de modo de facilitar la comprensión conceptual del mismo.

Ejemplo del Método Simplex

A un grupo de artesanos se le presenta la oportunidad exportar cinturones de piel de salmón al mercado europeo. Clasifican los cinturones en dos tipos A y B: A por alta calidad y B por baja calidad. De acuerdo a sus estimaciones tendrían una utilidad de 4 euros por cinturón tipo A y 3 euros por el tipo B. La confección de un cinturón tipo A les requiere el doble de tiempo que uno tipo B. Si confeccionaran sólo cinturones tipo B podrían hacer 1.000 diarios. En todo caso, el abastecimiento de piel es suficiente para confeccionar un total combinado de 800 cinturones diarios. Los cinturones usan un diferente tipo de hebilla según su calidad. Se pueden abastecer de 800 hebillas elegantes al día para los cinturones tipo A y 700 hebillas corrientes al día para los cinturones tipo B. Se desea formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita a los artesanos decidir cuántos cinturones de cada tipo fabricar de modo de maximizar sus ganancias.

1.-Variables de Decisión

  • x1: Número de cinturones tipo A a fabricar por semana.
  • x2: Número de cinturones tipo B a fabricar por semana.

2.- Función Objetivo

Cada cinturón tipo A reporta una utilidad de 4 euros y cada cinturón tipo B reporta una utilidad de 3 euros. Se desea maximizar la utilidad total dada por: Max 4x1+3x2

3.-Restricciones

  • No se puede fabricar más cinturones tipo A que la cantidad de hebillas disponibles: x1≤800

  • No se puede fabricar más cinturones tipo B que la cantidad de hebillas disponibles: x2≤ 700

  • Como máximo se puede confeccionar diariamente 800 cinturones del tipo A y del tipo B en conjunto: x1+x2≤800

  • La capacidad de producción  permite fabricar 1.000 cinturones tipo B a la semana si se fabricara sólo cinturones de este tipo. Los cinturones tipo A ocupan el doble de recursos que uno B, esto es se pueden fabricar 500 cinturones a la semana si sólo se fabrican cinturones tipo A: 2x1+x2≤1.000

  • No negatividad de las variables de decisión: x1, x≥ 0

En términos compactos el modelo de Programación Lineal queda definido por:

modelo lineal

Previo a la aplicación del Método Simplex será necesario llevar el modelo a su forma estándar. Para ello llevamos la función objetivo a minimización y agregamos las variables de holgura no negativas x3, x4, x5,  y x6, para las restricciones 1, 2, 3 y 4, respectivamente.

forma estándar programación lineal

Con ello construimos la tabla inicial del Método Simplex donde las variables de holgura previamente identificadas definen una solución básica factible inicial (no óptima):

tabla inicial método simplex

Por el criterio del costo reducido más negativo la variable que ingresa a la base es x1. Luego calculamos en dicha columna el mínimo cuociente que esta dado por: Min\begin{Bmatrix}\frac{800}{1},\frac{800}{1},\frac{1.000}{2}\end{Bmatrix}=500.

En consecuencia el pivote se encuentra en la fila 4 y por tanto la variable x6 deja la base. (Notar que para el cálculo del mínimo cuociente o criterio de factibilidad sólo se consideran denominadores que sean estrictamente mayores a cero).

primera iteración método simplex

Ahora la variable no básica que ingresa a la base es x2. Calculamos nuevamente el mínimo cuociente sobre dicha columna obteniendo: Min\begin{Bmatrix}\frac{700}{1},\frac{300}{1/2},\frac{500}{1/2}\end{Bmatrix}=600.

Por tanto x5 abandona la base. Con ello realizamos una nueva iteración del Método Simplex:

tabla óptima método simplex

La solución óptima es x1=200 y x2=600, donde el valor de las holguras x3 y x4 corresponde a 600 y 100, respectivamente. Notar adicionalmente que las variables x5 y x6 son no básicas en el óptimo, por tanto su valor es cero, lo que indica que las restricciones 3 y 4 son activas. El valor óptimo del problema es V(P)=2.600.

Para complementar el análisis anterior, se puede apreciar la convergencia del Método Simplex a través de una representación gráfica, realizada en este caso con el software Geogebra. La tabla inicial del Método Simplex corresponde al vértice A (solución básica factible no óptima) del gráfico a continuación, luego al ingresar en primera instancia la variable x1 al cabo de una iteración se alcanza el vértice E (solución básica factible no óptima). Finalmente en la segunda iteración se pasa del vértice E al vértice D, el cual corresponde a la solución básica factible óptima, dado que el costo reducido de las variables no básicas es mayor o igual a cero.

geogebra-simplex

Importante: Una forma de corroborar que el criterio de seleccionar la variable no básica que ingresa a la base como aquella con el costo reducido más negativo se basa en la rapidez de convergencia del Método Simplex y no afecta en su efectividad, consiste en ingresar inicialmente a la base la variable x2. En este caso se puede constatar que se puede alcanzar la solución óptima del problema con un número mayor de iteraciones en comparación al procedimiento detallado en este artículo.

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